La Coolpix P510 (zoom 42x, GPS) a veces no carga ni enciende por fallo en el circuito de carga de la batería EN-EL5. Hay un video en YouTube que muestra el diagnóstico y reparación (reemplazo de MOSFET o conector):
Buscar «Nikon Coolpix P510 battery charging problem» en YouTube
Si no te atreves con soldadura SMD, lleva la cámara a taller. Batería nueva (EN-EL5) cuesta ~15-20 €; prueba primero por si es solo la batería.