Si tu Galaxy Note 3 (modelo Verizon SM-N900V) no conecta a Internet (ni datos móviles ni WiFi) y ya probaste lo básico (reiniciar, modo avión, olvida red WiFi, revisar APN), un restablecimiento de fábrica puede arreglar problemas de configuración de red corruptos.
Advertencia: Borra todo. Tras reiniciar, configura APN de Verizon (suele auto-configurarse al insertar SIM). Si sigue sin Internet, puede ser fallo de radio/baseband o SIM. Prueba la SIM en otro teléfono. Contacta a Verizon.