La forma más sencilla es instalar la aplicación oficial de YouTube para Nokia E63. Puedes descargarla gratis desde GetJar:
YouTube for Nokia E63 en GetJar
Una vez instalada, podrás buscar, ver y descargar videos directamente en el teléfono. Los videos se guardan en formato compatible (generalmente 3GP o MP4 de baja resolución) para reproducirlos sin conexión.
Si prefieres mayor calidad, descarga los videos en tu computadora (con herramientas como 4K Video Downloader o yt-dlp), conviértelos a MP4 (resolución 320x240 o 640x360) y pásalos al móvil por USB o tarjeta microSD.