Lleva tu antigua SIM y el teléfono viejo a una tienda AT&T. Tienen lector de SIM y copian contactos a tu teléfono actual o a la nueva SIM. También puedes probar: pon la SIM antigua en el teléfono viejo; si aparecen contactos, cópialos al teléfono (Menú → Contactos → Opciones → Copiar todo a teléfono), luego pon la SIM nueva y cópialos a ella.
Según modelo, la opción "Copiar todo" puede no existir; la tienda lo resuelve seguro.