Tras jailbreak, restaurar y quedarse solo encendido con cargador, el iPhone 3G tiene dos causas probables:
Si restauraste desde backup, arrastraste archivos de jailbreak (MobileSubstrate, tweaks) a un iOS limpio. El sistema no sabe qué hacer con ellos y crashea al cambiar de app (SpringBoard recarga).
Solución: Restaura en iTunes como Nuevo iPhone (no desde backup). Pierdes datos, pero limpias el sistema. Backup fotos/contactos antes con iBackupBot.
iPhone 3G (2008) tiene batería de ~300-400 ciclos. Si no se cambió, está hinchada/agotada. El teléfono necesita la corriente del cargador para mantener voltaje bajo carga (abrir apps).
Prueba: Si con cargador puesto funciona bien, es batería. Cámbiala (kits $15-25 en iFixit/eBay) o llévalo a taller.
El iPhone 3G es muy viejo; considera actualizar a un 4S/5 usado barato.