Luz azul 3-4 seg y nada más = teléfono recibe energía pero no arranca (bootloop silencioso o pantalla negra).
Si todo bien, prueba pantalla vieja (aunque rota) para descartar pantalla nueva defectuosa.
Modelo SGH-I337 (AT&T). Busca guía iFixit "Samsung Galaxy S4 Display Assembly Replacement".