Un iPhone en lista negra (blacklist) tiene su IMEI reportado como robado, perdido o por impago de financiación. Las redes móviles bloquean las llamadas, SMS y datos móviles en ese dispositivo. No se puede "arreglar" el IMEI (es ilegal en la mayoría de países), pero tienes opciones legítimas.
*#06# para ver el IMEI.Si al encender pide Apple ID y contraseña del anterior dueño, solo ese dueño puede desbloquearlo (iniciando sesión en iCloud.com > Buscar > Eliminar dispositivo). Apple Store no lo desbloquea sin prueba de compra original a tu nombre.
Si no puedes resolver el bloqueo de red, el iPhone 5s sigue funcionando perfectamente en Wi-Fi: apps, juegos, cámara, música, navegación, FaceTime, iMessage (si tienes Apple ID propio).
Si el problema es hardware (pantalla rota, batería hinchada), iFixit ofrece guías gratuitas paso a paso y vende herramientas/repuestos. Repararlo tú mismo es viable si tienes maña; si no, busca un taller de confianza.
Advertencia: Comprar/usar servicios de "limpieza de IMEI" o "bypass iCloud" es ilegal y suele ser estafa.