En modelos antiguos como el Galaxy Fit (GT-S5670) no hay ajuste nativo para "borrar al leer".
Mantén pulsado el mensaje en la lista > selecciona "Eliminar" en el menú que aparece. O entra en la conversación > Menú > Eliminar mensajes > marca los deseados > Eliminar.
Para automatizar, tendrías que usar apps de terceros (ej. "SMS Auto Delete" en Play Store) que borran mensajes antiguos o de contactos específicos según reglas.